Druhá mocnina součtu z hlavy: jak to spočítat a kde je past
Rozlož 51 = 50 + 1. Velký čtverec 50 · 50 je 2 500, k tomu dva pásky po 50, tedy 100, a malý roh 1. Dohromady 2 601. Past: nesčítej jen 50² + 1². Vyšlo by ti 2 501, protože chybí oba pásky.
Zkus si toKde je past
Rychlík umocní každé číslo zvlášť: 50² + 1². Jenže čtverec o straně 51 se skládá ze tří částí. K velkému čtverci a malému rohu patří ještě dva pásky po 50.
Jak na to (3 kroky)
- Rozlož číslo na kulaté a malé: 51 = 50 + 1. Velký čtverec 50 · 50 je 2 500.
- Přidej dva pásky: 2 · 50 = 100.
- Přidej malý roh 1 a sečti: 2 500 + 100 + 1 = 2 601.
Zkus si to
Spočítej z hlavy: 61 na druhou.
Ukázat postup
Velký čtverec 60 · 60 je 3 600. Dva pásky po 60 jsou 120 a roh je 1. Dohromady 3 600 + 120 + 1 = 3 721.
Ulož si tahák
Podrž na obrázku prst → Uložit obrázek.
Sešit: PDF, 6 stran A4, zdarma.
Kde to bylo v přijímačkách
Tenhle typ padl v testech 9×. Původní zadání najdeš v PDF na cermat.cz.
- 2016 · 1. řádný termín · úloha 4 – druhá mocnina rozdílu s neznámou, často se zapomíná prostřední člen → PDF, cermat.cz
- 2018 · 1. řádný termín · úloha 4 – úprava výrazů se vzorcem pro (3 + a)² → PDF, cermat.cz
- 2019 · 1. řádný termín · úloha 4 – roznásobení, druhá mocnina rozdílu s neznámou → PDF, cermat.cz
- 2019 · 2. řádný termín · úloha 4 – druhá mocnina součtu a rozdíl čtverců → PDF, cermat.cz
- 2020 · 1. řádný termín · úloha 4 – rozdíl čtverců a druhá mocnina součtu s neznámou → PDF, cermat.cz
Ukázat všech 9
- 2022 · 1. řádný termín · úloha 4 – druhá mocnina součtu se zlomkem, dvojnásobek součinu → PDF, cermat.cz
- 2022 · 2. řádný termín · úloha 4 – druhá mocnina rozdílu s desetinným číslem, dvojnásobek součinu → PDF, cermat.cz
- 2023 · 1. řádný termín · úloha 4 – druhá mocnina rozdílu se zlomkem, prostřední člen → PDF, cermat.cz
- 2026 · 1. řádný termín · úloha 3 – výraz 9a² − 6a + 1 pro a = 7, druhá mocnina z hlavy → PDF, cermat.cz
Časté otázky
Funguje to i pro 49 na druhou?
Ano, jen roh odečítáš. 49 = 50 − 1, takže 2 500 − 100 + 1 = 2 401. U rozdílu se pásky ubírají a roh se přičítá.
Co dělat u čísla jako 102?
Rozlož na 100 + 2. Velký čtverec 10 000, dva pásky po 2 · 100 · 2 = 400 a roh 4. Dohromady 10 404.
Proč nestačí umocnit každé číslo zvlášť?
Protože čtverec o straně 51 není složený jen z čtverců 50 a 1. Zbývají dva pásky 50 · 1 a ty se při umocnění po jednom ztratí. Proto vzorec vypadá a² + 2ab + b².
Pro rodiče a učitele
Vzorce pro druhou mocninu součtu a rozdílu se v testech objevují opakovaně, katalog je eviduje od roku 2016. Nejčastější chyba je vynechání prostředního členu, tedy dvojnásobku součinu. Obrázek čtverce rozděleného na velký čtverec, dva pásky a malý roh dětem pomůže, protože prostřední člen vidí. Stejný postup funguje při počítání z hlavy i s písmeny. Tahák si můžete stáhnout v sešitu a dát dítěti na stůl.
Formálně (pro učitele): (50 + 1)² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2 601.
Do přehledu v bloku „Kde to bylo v přijímačkách“ jsme z testů 2016–2026 vybrali 9 úloh, v nichž se druhá mocnina součtu nebo rozdílu objevuje a hrozí zapomenutý prostřední člen. Původní zadání najdete v testech na prijimacky.cermat.cz.
Další pasti
- Přednost operací se zlomky: jak to spočítat a kde je past
- N-tý člen posloupnosti ve slovní úloze: jak to spočítat a kde je past
- O kolik procent je to víc: z čeho se to počítá
Zdroje: CZVV (CERMAT): testová zadání JPZ z matematiky, čtyřleté obory (PDF) · CZVV (CERMAT): Specifikace požadavků pro JPZ z matematiky, školní rok 2026/2027 (PDF)